基础滤波#

基础滤波算法用于去除信号中的噪声、平滑数据或提取特定频率成分。

线性滤波#

线性滤波通过卷积运算处理信号，输出是输入的加权和。

移动平均滤波 (Moving Average Filter)#

算法思路#

移动平均滤波将窗口内的数据点求平均，用平均值替代当前点，从而平滑高频噪声。该滤波器属于有限冲激响应 (FIR) 滤波器。窗口越大，平滑效果越强，但信号延迟也越大。

数学公式#

设输入信号为 \(x[n]\)，窗口大小为 \(N\)，输出为 \(y[n]\)：

\[y[n] = \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N-1} x[n-i]\]

也可以写成卷积形式：

\[y[n] = x[n] * h[n]\]

其中离散脉冲响应为：

\[h[n] = \begin{cases} \frac{1}{N}, & 0 \le n \le N-1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}\]

参数说明#

参数	含义	建议范围
\(N\)	窗口大小	3~20，根据噪声强度与采样率调整
\(N\) 越大	平滑效果越强	噪声较大、信号变化慢时取大值
\(N\) 越小	响应速度越快	信号变化快、实时性要求高时取小值

限制#

相位延迟：由于是一阶因果系统，窗口越大延迟越大，群延迟约为 \(\frac{N-1}{2}\) 个采样点。
边缘效应：信号开头的 \(N-1\) 个点无法完全滤波，需要进行 Padding（如零填充、边界复制等）。
信号失真：由于对所有点一视同仁，会严重平滑掉信号中的有用尖峰或快速阶跃成分。

低通滤波 (Low-Pass Filter)#

算法思路#

一阶低通滤波（亦称指数平滑）允许低频信号通过，抑制高频噪声，属于无限冲激响应 (IIR) 滤波器。当前输出是当前输入与上一次输出的加权平均。

数学公式#

一阶低通滤波的递推形式：

\[y[n] = \alpha \cdot x[n] + (1-\alpha) \cdot y[n-1]\]

其中 \(\alpha \in (0, 1]\) 是平滑系数。它由连续一阶系统 \(\tau \frac{dy}{dt} + y = x\) 经后向差分时域离散化得到，系数关系为：

\[\alpha = \frac{\Delta t}{\tau + \Delta t}\]

其中 \(\Delta t\) 为采样周期，\(\tau\) 为系统时间常数。截止频率 \(f_c\) 的精确计算公式为：

\[f_c = \frac{\alpha}{2\pi \Delta t (1-\alpha)} \text{ Hz}\]

注意：当 \(\alpha \ll 1\) 时，可近似为 \(f_c \approx \frac{\alpha}{2\pi \Delta t}\)。

参数说明#

参数	含义	建议范围
\(\alpha\)	平滑系数	0.01~0.5
\(\alpha\) 越小	截止频率越低，平滑越强	噪声严重、允许延迟时取小值
\(\alpha\) 越大	截止频率越高，响应越快	需要跟踪快速变化时取大值

限制#

相位滞后：低通滤波会带来明显的动态相位延迟。
建立时间：面对阶跃输入时，需要约 \(\frac{3}{\alpha}\) 个采样点才能达到稳定值的 95% 左右。
频带重叠无法分离：若有用信号与噪声的频带重叠，低通滤波会在去噪的同时严重削弱信号。

高通滤波 (High-Pass Filter)#

算法思路#

一阶高通滤波允许高频成分通过，抑制低频漂移和直流分量。常用于消除传感器基线漂移、趋势项或零点偏置。

数学公式#

一阶高通滤波的递推形式为：

\[y[n] = \alpha \cdot y[n-1] + \alpha \cdot (x[n] - x[n-1]) = \alpha \cdot (y[n-1] + x[n] - x[n-1])\]

其对应的 Z 传递函数为：

\[H(z) = \frac{\alpha (1 - z^{-1})}{1 - \alpha z^{-1}}\]

其中 \(\alpha = \frac{\tau}{\tau + \Delta t}\)。截止频率 \(f_c\) 与 \(\alpha\) 的关系为：

\[f_c = \frac{1-\alpha}{2\pi \Delta t \alpha} \text{ Hz}\]

参数说明#

参数	含义	建议范围
\(\alpha\)	滤波系数	0.80~0.99
\(\alpha\) 越大	截止频率越低，保留更多低频	仅需去除极低频（如基线漂移）时取大值
\(\alpha\) 越小	截止频率越高，滤除更多低频	需要提取高频突变或完全剔除低频趋势时取小值

限制#

放大高频噪声：高通特性会导致输入信号中的高频随机噪声被进一步放大。
边界跳变敏感：在信号初始阶段或输入突变时，输出端会出现较大的暂态跳变。
数值累积误差：递推结构对浮点数精度有一定要求，极长期运行可能存在微小的数值漂移。

高斯滤波 (Gaussian Filter)#

算法思路#

高斯滤波使用高斯概率密度函数构建卷积核。相比于移动平均的均匀权重，高斯核的权重从中心向边缘呈指数衰减，能在平滑噪声的同时，更好地保留信号的中心特征与边缘轮廓。

数学公式#

一维未归一化的高斯核权重为：

\[h'[i] = \exp\left(-\frac{i^2}{2\sigma^2}\right), \quad i = -k, \dots, k\]

为了保证信号总能量不变，必须进行归一化处理：

\[h[i] = \frac{h'[i]}{\sum_{j=-k}^{k} h'[j]}\]

滤波输出为：

\[y[n] = \sum_{i=-k}^{k} x[n-i] \cdot h[i]\]

为了完整覆盖高斯分布的绝大部分能量（\(\pm 3\sigma\) 窗口），通常定义滤波核的宽度 \(N = 2k + 1\)，其中 \(k = \lceil 3\sigma \rceil\)。

参数说明#

参数	含义	建议范围
\(\sigma\)	高斯标准差（决定核的平滑宽度）	0.5~5.0
\(\sigma\) 越大	权重向两侧扩散，平滑效果越强	噪声分布较广时取大值
\(\sigma\) 越小	权重向中心集中，保边性越好	需保留波形细节与边缘时取小值

限制#

计算复杂度高：属于滑动窗口卷积，单点计算量为 \(O(N)\)，窗口较大时比一阶 IIR 滤波器更耗时。
边缘信息模糊：若 \(\sigma\) 选取过大，波形的尖峰与突变边缘仍会被不可逆地模糊。

非线性滤波#

非线性滤波不满足线性系统的叠加原理，通常基于排序、统计等非线性映射操作。

中值滤波 (Median Filter)#

算法思路#

中值滤波在滑动窗口内对所有数据点进行排序，并输出序列的中位数。它对脉冲噪声（如椒盐噪声、离群点 Outlier） 具有极强的抑制能力，因为极端异常值在排序时会被移到序列的两端，无法影响中位数的输出。

数学公式#

设窗口大小为 \(N\)（通常为奇数 \(N = 2k + 1\)），输入信号为 \(x[n]\)：

\[y[n] = \text{median}\{x[n-k], \dots, x[n], \dots, x[n+k]\}\]

参数说明#

参数	含义	建议范围
\(N\)	窗口大小	3~11（必须为奇数）
\(N\) 越大	抑制连续脉冲或大幅度离群值的能力越强	异常值密集时取大值
\(N\) 越小	信号边缘与尖峰细节保持得越好	异常值稀疏、需保留突变时取小值

限制#

单点计算复杂度：标准实现的滑动窗口单点排序复杂度为 \(O(N \log N)\)，在大窗口下运行效率低于线性滤波。
真实尖峰被抹杀：若信号本身带有合理的窄脉冲（如心电信号的 QRS 波），中值滤波会将其误认为噪声并直接剔除。
引起波形阶梯化：频繁使用大窗口中值滤波会导致平滑的斜坡信号变成不连续的“阶梯”状。

参数调优指南#

通用调试对策#

滤波异常现象	可能原因	调整方向
滤波后仍有高频白噪声	截止频率过高或窗口太小	增大窗口 \(N\) / 减小低通 \(\alpha\) / 增大高斯 \(\sigma\)
滤波后信号波形延迟、滞后严重	滤波响应过慢、相位滞后大	减小窗口 \(N\) / 增大低通 \(\alpha\)
基线漂移、缓慢趋势未能除尽	高通截止频率太低	减小高通 \(\alpha\)（提升截止频率）
突发性尖峰/毛刺噪声无法消除	线性滤波对离群点钝感	引入中值滤波，并适当加大中值窗口 \(N\)
波形边缘、陡峭阶跃被严重模糊	过度平滑	减小高斯 \(\sigma\) 或缩小移动平均窗口 \(N\)

场景选型矩阵#

目标应用场景	噪声特点	推荐滤波器	选型理由
白噪声平滑	连续、高频随机噪声	移动平均滤波	结构最简单，对平稳噪声有很好的均值抑制作用。
微控制器实时去噪	内存有限、实时性要求极高	一阶低通滤波	空间复杂度 \(O(1)\)，无需缓存历史数组。
保留波形特征的平滑	传统平滑容易导致峰值塌陷	高斯滤波	钟形权重分配，中心点响应高，兼顾平滑与保真。
去除工业刺针、离群点	脉冲、椒盐噪声、传感器偶发跳变	中值滤波	非线性统计特性，可 100% 免疫孤立离群点。
消除传感器零漂/基线起伏	缓慢的直流漂移或低频呼吸干扰	一阶高通滤波	有效截断低频直流成分，快速恢复动态基线。

参考实现#

具体代码仿真与对比验证见：01.basic_filters_sim.ipynb。